条条大路通罗马 认知函数岂一途【师者智慧18期】

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事物的本质或者说真理往往是唯一的，但是通达本质或者真理的路径却往往不一，作为函数教学的本质或许就是帮助学生找到通往真理也就是掌握函数本质内容的路径，并力求引导学生找到“性价比”更高的“捷径”．正如“条条大路通罗马”（英文谚语：All Roads Lead to Rome.），函数教学有宽敞便捷并堪称模板式的多条“路径”．

路径一：边角关系——帮助我们揭开了三角函数的“红盖头”．

初中就出现了三角函数这个词．但是在初中阶段，并没有当成函数来讲，只是讲边和角对应的关系，通过这样一种关系来求值．尽管初中阶段我们认识到的仅仅是锐角三角函数，但是这毕竟应该算是我们接触三角函数的开端．这阶段，恰如小荷才露尖尖角，三角函数的“红盖头”由此向我们揭开．

路径二：概念定义——帮助我们认识了三角函数的“实面孔”．

高中阶段，确切说是必修四的学习之初，通过角的概念的推广，锐角被扩充到一般角，三角函数的概念随即被扩容和定型．直到这时，三角函数才可以说是羽翼丰满，向我们展示了她的本来面孔．

路径三：单位圆——帮助我们奏响了展示三角函数几何特性的“圆舞曲”．

以往过多利用三角函数线讲解三角函数老师们都比较习惯，但张老师又同时指出“这种推广实际是不自然”，“因为锐角三角函数是对边和斜边之比出来的，只要角一超过锐角的话，对边也找不到了，斜边也找不到了，硬要刻划出来去找其他的线很不自然．另外原来都是正的值，现在都要成为负的值，也很不自然．虽然过去很熟，但是这种推广是不自然的．而用单位圆考虑三角函数的话，这个推广就变成一件非常自然的事情”．在这里，单位圆犹如一个精灵，在展示三角函数的几何特性方面为我们奏响了一支美妙的“圆舞曲”．

路径四：平面向量——向量及其导出的三角恒等变换公式为我们掌握三角函数提供了“工具箱”．

向量作为中学数学里的重要概念，它的出现以及向量方法导出的三角恒等变换无疑令我们为之一亮．向量在中学数学概念里面非常重要，如向量代数、向量几何，以及我们在几何中研究点线面的位置、度量等关系，还有向量的物理背景等多个方面．具体到三角函数的学习掌握中，向量则成为了我们解决很多三角函数问题的重要工具．向量再加上由其导出的和角公式、倍角公式、半角公式等三角恒等变换公式，则为我们提供了一个几乎可以包罗三角函数万象的工具箱．只要我们正确认识并熟练掌握这个工具箱，很多三角函数问题便会随之迎刃而解．

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